Problemas resolvidos: Mecânica

Neste texto estão alguns problemas de mecânica (alguns ditos “clássicos”) e suas soluções. O objetivo não é simplesmente resolver os problemas, mas mostrar os detalhes do raciocínio das soluções (tentei detalhar o máximo possível as soluções). Escolhi os problemas de forma a abordar o máximo possível dos tópicos de mecânica (embora muitos tenham ficado de fora). Devo alertar que as formas de solução apresentadas aqui não são as únicas possíveis, mas foram as que julguei melhores.

Problema 1:

(ITA 2009) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação à água. Quanto tempo o barco leva para descer esse trecho com os motores desligados?

Resolução:

Inicialmente deve-se perceber que existem dois referenciais a serem analisados: o em repouso em relação à margem e o em repouso em relação à água.

Quando o barco sobe, pelo referencial da margem, o barco sobe a uma velocidade de módulo v₁, mas a água desce a uma velocidade de módulo v₂ (o barco está indo contra a correnteza). Ou seja, se tomarmos o referencial em que a água está em repouso, o barco terá uma velocidade de módulo V = v₁+v₂. Como a velocidade, nesse caso, é a razão entre o espaço percorrido e o tempo que se levou para isso, tendo que o trecho tem comprimento S,

Perceba que subtraímos a magnitude de v₂ de V para chegar a v₁. Isso porque a velocidade do barco em relação à margem é a resultante vetorial da velocidade do barco em relação à água e da água em relação à margem. Ou seja, v₁ = V+v₂ (em termos vetoriais).

Já, quando o barco desce, o módulo da velocidade do barco em relação à margem (v₃) será a velocidade da água mais a velocidade do barco em relação à água. Ou seja, v₃ = V+v₂. Da mesma forma que na subida:

Desejamos saber em quanto tempo (t) o barco desce o trecho de comprimento S com os motores desligados. Como eles estão desligados, o barco fica em repouso em relação à água e, como a água desce a uma velocidade v₂ em relação à margem, a velocidade do barco em relação à margem é v₄ = v₂. Assim:

Para reduzir o número de expressões e variáveis, podemos subtrair a equação (1) da (2):

Usando a equação (3), temos:

Ou seja, o intervalo de tempo, t, em que o barco leva para descer o trecho com os motores desligados é 13 horas mais um terço de hora, que quer dizer: 13 horas e 20 minutos.

Problema 2:

(OBF 2008 segunda fase) Um bloco de massa m é liberado do repouso sobre um plano inclinado de uma altura H. O bloco desliza sobre o plano com atrito desprezível até sua base, quando então desliza sobre uma superfície rugosa com coeficiente de atrito cinético μ, chocando-se com uma mola de constante elástica k, comprimindo-a de x e parando momentaneamente; a mola em seguida se distende, arremessando o corpo de volta ao plano inclinado e esse sobe a uma altura h. A distância percorrida pelo corpo sobre a superfície rugosa até o momento do repouso momentâneo é igual a d. Qual a expressão que determina a altura h que o corpo sobe?

Resolução:

Nesse problema ocorre algo incomum, mas interessante: existem informações desnecessárias para a resolução. De certa forma, isso faz parte do problema e deve-se perceber o que realmente é necessário para resolver o problema.

Outro ponto que deve ser percebido é que o problema pode ser “simples” ou “complexo”. Entre aspas, pois não digo isso no sentido de fácil percepção de como solucionar, mas no de dificuldade matemática. Pode-se tentar formular uma solução em termos de forças, mas isso se torna particularmente complexo quando o bloco atinge a mola, pois se tem uma força variável (elástica) e a força de atrito, que muda de sentido quando movimento inverte de sentido. Mas pode-se tentar formular em termos de energia e essa formulação torna o problema muito menos trabalhoso e, por isso, faremos a solução dessa forma.

Como estamos trabalhando com energia, deve-se perceber quais são as forças conservativas e não conservativas do sistema. Apenas a força de atrito é não conservativa e isso quer dizer que só ela pode, nesse caso, tirar energia mecânica do sistema. Ou seja, reduzimos o problema a encontrar qual expressão dá a energia dissipada pelo atrito, pois a energia restante será a energia cinética do bloco ao “pé” da rampa e se transformará em potencial gravitacional ao final do processo.

O problema diz que a distância entre o final da rampa e o ponto em que o bloco fica em repouso momentâneo é d. Ou seja, o bloco fica sobre ação da força de atrito num percurso de distância 2d (ida e volta). Como a força de atrito é F = μmg (F= μN, onde N é a força normal), a energia total dissipada pela força de atrito será τ = -μmg.2d (negativo, pois se está tirando energia do sistema). Assim, a energia cinética mv²/2 quando o bloco voltar ao “pé” da rampa será mv²/2 = mgH- μmg.2d. Mas perceba que toda essa energia se transformará em energia potencial gravitacional e elevará o bloco à altura h procurada. Ou seja:

Que é o que se procurava. Perceba que, das seis informações dadas no problema, só foram realmente necessárias três. Veja também que a função da mola foi de apenas mudar o sentido do movimento, para que o bloco retornasse à rampa, e que a solução independe da massa.

Com base nesse problema, pode-se criar outro: qual o coeficiente de atrito máximo tal que o bloco chegue ao “pé” da rampa?

Veja que, nesse novo caso, queremos minimizar a altura h (h=0). Ou seja, que o bloco chegue ao “pé” da rampa com energia mecânica nula. Dessa forma:

Que, como o resultado anterior, também não depende da massa.

Problema 3:

(OBF 2008 segunda fase) Duas partículas, uma de massa m e velocidade v, e outra de massa 2m e velocidade v/2, movem-se perpendicularmente sobre uma superfície horizontal lisa como mostra a figura. Num determinado instante atuam, sobre estas partículas, forças de igual módulo, direção e sentido. Quando estas forças deixam de atuar, a primeira partícula adquire um movimento perpendicular à sua direção inicial, sendo o módulo da velocidade, o mesmo. Qual o módulo da velocidade adquirida pela segunda partícula?

Resolução:

O problema admite duas interpretações, pois a partícula de massa m pode ter sido desviada para cima ou para baixo, mas solucionaremos o problema admitindo que ela foi desviada para baixo.

Deve-se perceber que a definição F = ma (o negrito indica vetores) não é a mais apropriada nesse caso. De forma geral, para uma força constante, a segunda lei de Newton é dada por F = ∆p/∆t, ou seja, F. ∆t = I = ∆p, onde ∆p é a variação de momento linear (quantidade de movimento) e I o impulso. Veja que, como se está tratando de duas forças de mesma intensidade, direção e sentido num mesmo intervalo de tempo, têm-se um mesmo impulso. Sabe-se que a velocidade final da partícula de massa m é perpendicular à inicial e com mesma intensidade. Dessa forma, a variação de momento linear (impulso) é:

Como |v_f| = |v_i| e o ângulo formado entre os vetores é 90° (perceba que I é a hipotenusa do triângulo retângulo em que p_i e p_f são os catetos):

Os impulsos de ambas as partícula são iguais, como já dito. Assim:

Podemos usar a lei dos co-senos para encontrar o resultado, mas antes devemos determinar o ângulo entre I e 2mv_i2. No resultado anterior, | p_i| = | p_f| e esses são perpendiculares. Já que I é a hipotenusa do triângulo em p_i e p_f são os catetos, o ângulo entre p_f e I é de 45°. Como p_f tem mesma direção e sentido que p_i2, o ângulo entre I e p_i2 também é de 45°. Dessa forma:

Que é o que se procurava.

Problema 4:

(OBF 2006 segunda fase) Uma escada tem 3,0m de comprimento, massa de 15kg e centro de massa a 1,5 m das extremidades. Estando disposta horizontalmente no chão, um pintor, para usá-la, ergue-a e encosta-a na parede formando um ângulo α de 53° com o chão, como mostrado. A parede é perfeitamente lisa, mas o piso não deve permitir o escorregamento da escada. Nessas condições, calcule:

Dados: sen 53°=cos 37°=4/5 e cos 53°=sen 37°=3/5

a) o valor do trabalho realizado pelo pintor para posicioná-la na parede;

Resolução:

Como é conhecida a posição do centro de massa, pode-se reduzir o problema a encontrar o trabalho necessário para elevar uma partícula de 15kg à altura em que o centro de massa se encontra. Essa altura é dada por h=1,5. sen 53°=(15/10).(4/5)=3.4/10=1,2 m, pois é o cateto oposto do triângulo em que a metade da escada é a hipotenusa. Assim, o trabalho realizado pelo pintor é:

b) o menor valor para o coeficiente de atrito estático entre a escada e o piso que impede o início do escorregamento da escada.

Resolução:

O sistema é estático e isso implica que as resultantes das forças e dos torques devem ser nulas (condições do equilíbrio). Assim, a força peso é anulada pela força normal que o chão aplica sobre a escada e a força de atrito é anulada pela força normal aplicada pela parede (figura).

Como já dito, N₁ = -P e N₂ = -F_at. O torque também deve se anular, mas precisamos tomar um ponto de referência para determinar o torque. O ponto que torna a análise mais simples é o “pé” da escada, então, vamos tomá-lo. Veja que as forças não são perpendiculares à direção em que a escada está disposta, mas somente as componentes perpendiculares a essa direção contribuem para o torque. Dessa forma, podemos decompor os vetores P e N₂ de forma a terem uma componente na direção desejada.

Ou seja, as componentes que contribuem para o torque são P.cos α e N₂sen α. Não é necessário considerar F_at e N₁, pois esses vetores são aplicados no ponto tomado como referência para calcular o torque, ou seja, d = 0. Assim, sendo x o tamanho da escada:

Essa força é igual à força de atrito que, por sua vez, é igual a N₁.μ. Ou seja:

Que é o que se procurava.

Problema 5:

Um carrinho de montanha russa parte do ponto A, onde possuía velocidade inicial nula, a uma altura h (como indicado na figura) e realiza um “loop” de raio R Considerando que o carrinho realiza todo o percurso sem sofrer influência de forças de atrito, qual deve ser a altura h mínima, em função de R, tal que isso seja possível?

Resolução:

Em uma primeira impressão, pode ocorrer de pensar que a altura será 2R, pois toda a energia potencial gravitacional estaria novamente na forma de energia potencial gravitacional quando chegasse ao ponto mais alto do “loop”. Mas veja que isso implicaria que a velocidade, nesse ponto mais alto, seria nula e o carrinho realizaria uma queda livre. Perceba também que é impossível o carrinho chegar ao ponto mais alto com velocidade nula, pois violaria a lei da inércia. Então existe certa velocidade quando o carrinho chega ao ponto mais alto. Ou seja, deve-se encontrar qual a velocidade mínima no ponto considerado para que seja possível realizar o “loop”.

A força que age sobre o carrinho no ponto mais alto é centrípeta. Ou seja:

Contribuem para a resultante centrípeta a força peso e a força normal. Assim:

Mas queremos minimizar v. Assim, como a força peso não pode se alterar, a velocidade v é mínima quando N=0. Dessa forma:

Perceba que a condição N=0 significa que o carrinho “não toca” (exerce força nula sobre o trilho) momentaneamente o trilho.

Já que a velocidade não é nula, a energia final será E = mgh = mg2R + mv²/2. Assim, com (1):

Que o que se procurava. Um fato interessante é que o resultado independe da massa. Ou seja, qualquer que seja o carrinho, em situações ideais, a altura mínima para que ele realize o “loop” será cinco meios do raio.

Problema 6:

Um canhão dispara um projétil de massa m e quando esse alcança a altura máxima um pequeno explosivo faz com que ele se parta em duas partes de massas iguais. Os fragmentos são lançados a uma velocidade de módulo v, em relação ao centro de massa, numa direção perpendicular a da trajetória que realizavam e paralela ao solo. Sabendo que a velocidade do projétil na altura máxima, antes da cisão, era V e que essa altura máxima é atingida a uma distância horizontal d do canhão:

a) Qual a distância entre algum dos fragmentos e o canhão quando os fragmentos atingem o solo?

Resolução:

Uma forma de resolver a questão é usando a conservação do momento linear. Embora essa grandeza não se conserve verticalmente (por razão da força gravitacional, que é externa ao sistema), ela se conserva no sentido horizontal, pois não há forças externas agindo sobre o sistema nessa direção. Chamaremos a direção horizontal paralela à trajetótia que o projétil realizava de y, a perpendicular à trajetória e paralela ao solo de x e a vertical de z (na verdade, se estará usando um sistema de eixos ortogonais x,y e z).

A conservação do momento linear na horizontal implica que o movimento do centro de massa do projétil nessa direção é retilíneo uniforme. Já na vertical existe a força da gravidade e, como a força “aplicada” (o centro de massa, no caso, não coincide com nenhum dos fragmentos) ao centro de massa é a soma das forças externas ao sistema, temos que o centro de massa é uma “partícula” de massa m em que é aplicada uma força F=(m/2)g+(m/2)g=mg. Ou seja, a aceleração do centro de massa é g (com direção vertical e sentido descendente). Dessa forma, conclui-se que o movimento do centro de massa é exatamente o mesmo que o projétil faria caso não ocorresse a cisão.

Na direção x, também não há força externa e, assim, o momento linear também se conserva nessa direção. Como já se sabe que a velocidade do centro de massa na direção y é constante, podemos fazer uma troca de referencial inercial e tomar o que faz o centro de massa ter velocidade zero na direção y. Com isso, é fácil perceber que o movimento realizado pelos fragmentos, nesse novo referencial, é o de corpos lançados horizontalmente com velocidade v na direção x. Ou seja, é possível descobrir a que distância do centro de massa esses fragmentos caem. Para isso, basta saber o tempo de queda, pois s=vt, onde s é a distância entre algum dos fragmentos e o centro de massa quando os fragmentos chegam ao solo e t o tempo de queda do corpo.

O tempo de queda é exatamente o mesmo tempo que se levou para o projétil chegar à altura máxima. Logo, t=d/V. Assim:

Por simetria, a distância entre o centro de massa dos fragmentos e o canhão, quando os fragmentos chegam ao solo, é 2d. Conhecendo a distância entre esse centro de massa e alguns dos fragmentos (as distâncias são iguais por simetria), podemos, agora, encontrar a distância entre algum dos fragmentos e o canhão através do teorema de Pitágoras (a distância entre o canhão e o centro de massa é um cateto e a distância entre o centro de massa e algum dos fragmentos é outro cateto). Assim:

Onde D é a distância procurada.

b) Qual deve ser a energia cinética total, em relação ao centro de massa dos fragmentos, transmitida a esses, tal que as posições dos fragmentos, ao atingirem o solo, junto à do canhão formem um triângulo eqüilátero?

Resolução:

A condição a ser satisfeita nesse caso, é a de que a distância entre o centro de massa e algum dos fragmentos deverá ser metade da distância entre o canhão e algum dos fragmentos. Ou seja, s=D/2 ou D=2s. Assim, como s=vd/V:

Essa é a velocidade dos fragmentos em relação ao centro de massa no momento da cisão. Assim, como a energia total transmitida aos fragmentos é a soma de suas energias cinéticas em relação ao centro de massa:

Onde E_t é a energia transmitida aos fragmentos em relação ao centro de massa.

Problema 7:

(UFSCar-SP adaptada) No sistema da figura abaixo, os fios são inextensíveis, as polias sem massa e as superfícies sem atrito. O ângulo que a hipotenusa da superfície de seção triangular faz com a horizontal é de 30°. Sabendo que a relação entre as massas dos corpos A e B é m_A/m_B = 1/2:

a) a relação a_A/a_B entre as acelerações dos corpos A e B;

Resolução:

Um detalhe dessa questão é que se deve levar em consideração o vínculo entre os blocos. Perceba que, se o bloco A desliza uma distância x ao longo do plano inclinado, o bloco B desce de x⁄2. Como isso é sempre válido, a velocidade do bloco B será sempre a metade da do bloco A e, assim, se a velocidade de A varia ∆v em um intervalo de tempo ∆t, a velocidade de B, no mesmo intervalo de tempo, terá que variar ∆v⁄2, para manter a proporção. Ou seja, a aceleração do bloco B é a metade da do bloco A (respondendo a letra a).

Em verdade, a solução dessa primeira parte pode ser encontrada de forma mais rigorosa através de ferramentas fornecidas pelo Cálculo. Considerando o vínculo, onde, quando o bloco A desloca uma distância x ao longo do plano, o bloco B desloca x⁄2, vê-se que x_A=2x_B, onde x_A=x (distância percorrida por A ao longo do plano) e x_B=x/2 (distância percorrida pelo bloco B). Assim, derivando ambos os lados em relação ao tempo, tem-se:

Derivando novamente em relação ao tempo:

Que é o mesmo resultado conseguido anteriormente, mas usando o fato de que a velocidade é a derivada de primeira ordem do espaço em relação ao tempo e que a aceleração é a derivada de segunda ordem do espaço em relação ao tempo.

b) a aceleração dos corpos A e B.

Resolução:

Temos que 2m_A=m_B. Além disso, a força resultante sobre o bloco A é F=T-P_A sin (30°), onde P_A é o peso do bloco A e T a tensão da corda, e a força resultante sobre o bloco B é F’=P_B-2T, onde P_B é o peso do corpo B. Como F=m_Aa_A e F’= m_Ba_B=2m_Aa_A/2= m_Aa_A, tem-se F=F’ e, assim:

Conhecendo a tensão T, pode-se, agora, descobrir as acelerações através das equações já conhecidas:

Que é um dos resultados procurados.

Já se sabe que a_B=a_A/2. Assim:

Que é o outro resultado procurado.

Problema 8:

(OBF 2006 terceira fase) Dois aviões de combate A e B voam em trajetória retilínea e horizontal e estão alinhados. Estando distanciados 600m um do outro, o que vem atrás inicia uma seqüência de disparos contra o outro, à razão de 1 projétil a cada um quarto de segundo. A velocidade dos projéteis v_P/A, relativamente ao avião A, é constante e igual a 500m/s e, como o tempo de seu percurso é muito curto, o efeito de queda do projétil pela gravidade é irrelevante na análise desta situação. Considerando que o avião que vem por trás voa com uma velocidade v_A=100m/s, que a velocidade do da frente é v_B=120 m/s, e que essas velocidades são constantes, calcule:

a) o tempo que o primeiro projétil disparado leva para atingir o avião que vai à frente.

Resolução:

Como o avião A está a uma velocidade constante, podemos fazer uma troca de referencial e tomar um onde a velocidade do avião A seja nula. Nesse caso, a velocidade do avião B será 120-100=20 m/s (velocidade relativa do avião B em relação ao A).

Como queremos o ponto de encontro entre o primeiro disparo e o avião B, devemos igualar a função horária do projétil com a do avião B. No caso, tomemos a posição do avião A como sendo a origem do sistema e, assim, a posição inicial do avião B é x₀=600 m. Ou seja, a função horária do avião B é x=600+20t e a do projétil é x=500t. Dessa forma, igualando as funções horárias, temos:

Que é o tempo procurado.

b) a distância entre dois projéteis lançados consecutivamente.

Resolução:

Tomando o mesmo referencial do problema anterior, basta saber a distância percorrida pela bala em 1⁄4 s. Ou seja, tomando a função horária do projétil, já conhecida:

Que é o resultado procurado.

c) o número de projéteis, por segundo, que atinge a aeronave da frente.

Resolução:

Uma forma de resolver esse problema é percebendo a semelhança desse problema com o problema de ondas em que se mede a freqüência em referenciais com velocidades diferentes. Ou seja, podemos resolver o problema como se fosse um problema de efeito Doppler. Escolheremos como referencial um onde o avião B está em repouso. Assim, a velocidade do avião A em relação ao B é 100-120=-20 m/s (o avião A se afasta a uma velocidade de 20 m/s). E a velocidade do projétil em relação ao avião B é 500+(-20)=480 m/s.

A onda análoga ao sistema dado é uma com freqüência f=4Hz (quatro disparos por segundo) e comprimento de onda 125 metros, no referencial do avião A. No caso, o que se mantêm constante nos dois referenciais (o que o avião A está em repouso e o que o avião B está em repouso) é o comprimento de onda (ambos os aviões medem a distância entre dois projéteis consecutivos como sendo 125 m). Assim, podemos usar a relação fundamental da ondulatória:

Sabemos a velocidade da “onda” no referencial do avião A e sua freqüência. E também sabemos a velocidade da “onda” no referencial do avião B. Assim, igualando os comprimentos de onda, podemos descobrir a freqüência da “onda” em B (quantidade de disparos que B recebe por segundo):

Que é a quantidade procurada.

Mas também é possível resolver o problema sem conhecimentos de ondulatória. Como a velocidade relativa entre o avião B e algum projétil é 480 m/s e a distância entre dois projéteis consecutivos é de 125 m, basta saber em quanto tempo um projétil percorre os 125m nessa velocidade. Assim:

Esse é o intervalo de tempo em que, após um projétil ter chegado em B, outro chegue, em seguida. Ou seja, o intervalo de tempo entre a chegada de dois disparos consecutivos. Multiplicando esse intervalo de tempo por um número de disparos, teremos o intervalo de tempo em que se leva para esses disparos chegarem ao avião B. Em particular, para 96 projéteis chegarem em B, leva-se ∆t'=∆t∙96=25 s. Ou seja, 96 projéteis a cada 25 segundos. Ou 96⁄25=3,84 projéteis a cada segundo, que é o mesmo resultado encontrado anteriormente.

Ivan Eugênio da Cunha

Física Básica - Cinemática no movimento unidimensional (parte 1)

Referencial

A forma mais simples de se analisar um movimento é descrevendo-o sem levar em conta as condições físicas que o regem. É através da cinemática que se faz tal análise mais simples, no entanto superficial, do movimento.

Para um ponto, pode-se definir o movimento como sendo a mudança contínua de coordenadas, descrevendo uma curva¹, em relação a um sistema de coordenadas usado como referencial. E deve-se estabelecer esse referencial para ser possível a descrição do movimento (com a mudança dele, muda a descrição). Por exemplo, se se diz que um carro se movimenta com velocidade constante v em relação a uma placa de sinalização (ou a estrada em si), foi necessário estabelecer um referencial (a placa ou estrada) para afirmar que o carro se movimenta e com velocidade constante (não variável com a passagem do tempo). Mas poder-se-ia tomar o carro como referencial e, de acordo com esse novo referencial, é a placa que se movimenta a uma velocidade v.

Como estamos tratando do movimento unidimensional (uma dimensão), o sistema coordenado usado como referência é uma reta orientada com uma origem.

1 - Curva é qualquer linha contínua no espaço ou plano (podendo ser até mesmo um reta).

Velocidade média

Para qualquer distância percorrida Δx em um determinado intervalo de tempo Δt, independente das variações de velocidade ocorridas no percurso, pode-se determinar uma velocidade média, que é definida como:Onde os índices f e i indicam final e inicial respectivamente. Ou seja, a velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo que se levou para completar o percurso. Dessa forma, a dimensão de velocidade no Sistema Internacional de Unidades (SI) é m/s (metros por segundo). Mas é comum a utilização de outras unidades básicas de forma que se tenha cm/s (centímetro por segundo), km/h (quilômetro por hora)...

Vê-se que a velocidade média é o coeficiente angular da reta formada no gráfico x contra t.Mas a velocidade média pode dizer pouco sobre o movimento real, pois, pelo gráfico dado acima, poder-se-ia concluir que a velocidade foi constante e igual durante todo o percurso, mas, como se trata de uma média, não é possível chegar a essa conclusão. Pode haver variações de velocidade ao decorrer do percurso e, assim, em determinados trechos, a velocidade média poderá ser maior ou menor que a média do percurso todo.

Por exemplo, observe o gráfico abaixo onde o tracejado indica o gráfico dado pela velocidade média:
Veja que, na primeira parte do trajeto, a velocidade média é muito maior (maior coeficiente angular) que a velocidade média do percurso todo. Já no segundo trecho, v=0, no terceiro, v menor que zero e no quarto a velocidade volta a ser maior que a média do percurso todo. Ou seja, não se pode afirmar nada sobre a velocidade média em determinado trecho tendo apenas a velocidade média do percurso todo. Mas veja que quanto menor for o intervalo Δt e Δx, conseqüentemente, considerado, mais precisa será a descrição do movimento tendo, assim, sucessivos trechos com velocidade constante.Perceba que quanto mais curtos os trechos, mais próximo do gráfico real se fica.

Há casos em que as dimensões do corpo estudado são significativas¹ em relação ao tamanho do trecho analisado e, assim, não se pode desprezá-las. Por exemplo, não se pode desprezar o comprimento de um trem quando se tenta determinar em quanto tempo esse realiza a travessia de uma ponte, já que só se pode dizer que a travessia foi feita quando o último vagão deixar a ponte. Pegando um ponto qualquer ao longo do trem, esse percorrerá o tamanho da ponte (Δx_p) mais o tamanho do trem (Δx_t) para que a travessia se complete. Para a análise ficar mais simples, peguemos o ponto extremo dianteiro (P) do trem (o primeiro a “entrar” na ponte). Quando esse ponto percorrer todo o comprimento da ponte, ainda faltará passar todo o trem pela ponte para o término do percurso. Ou seja, o ponto considerado deverá percorrer, ainda, uma distância igual ao comprimento do trem. Dessa forma:
Embora geralmente se busque a velocidade em determinado instante t, o problema inverso também existe: tendo os dados (velocidade e tempo - ou tamanho do trecho) em cada trecho, descobrir a velocidade média do percurso todo. Nesses casos deve-se descobrir os deslocamentos em cada trecho e o tempo que se levou para percorrê-lo. Ao fim, o que se realiza é a razão entre o deslocamento realizado (soma dos deslocamentos em cada trecho) e o tempo total (soma dos tempos que se levou para realizar cada trecho). Ou seja:
Pode-se, também, usar a velocidade média de cada trecho e realizar uma média ponderada²:

1 - Quando as dimensões do corpo são desprezíveis, chamamos de ponto material, pois desconsideramos essas dimensões. Elas são desconsideradas porque não interferem no resultado ao ponto de prejudicar a precisão desejada. No caso contrário, que é o que está em questão, não se pode desprezar as dimensões do corpo porque, ao desprezar, prejudica-se significativamente a precisão desejada.

2 - Média ponderada é a média utilizada quando cada termo possui um peso (peso, aqui, é sinônimo de ponderação), fazendo com que a média aritmética simples chegue a um resultado errado. Por exemplo, se num sistema de avaliação existem duas provas "peso dois" e uma "peso um", não se pode simplesmente somar as notas e dividir pelo número de provas para se ter a média final. Deve-se acrescentar o peso (ponderação) fazendo com que a média final seja dada por:Onde a, b e c são as notas nas provas. Veja que, no caso de todos os pesos serem iguais, chega-se à média aritmética simples. De forma geral, a média ponderada é dada por:
Velocidade instantânea

Como já dito, quanto menor for Δt e Δx, conseqüentemente, mais próximo da velocidade real (instantânea), em determinado instante, se estará. Pode-se diminuir o intervalo de tempo Δt o quanto se desejar e, assim, pode-se chegar o mais próximo quanto se desejar da velocidade instantânea (ao ponto de conseguir determinar exatamente o quanto ela vale). Para isso, fazemos com que Δt tenda à zero. Ou seja, se faz com que o valor de Δt seja tão próximo de zero quanto desejarmos. Como visto, a velocidade média é definida como v=Δx/Δt, mas podemos escrevê-la como:Onde x(t+ Δt) é a posição final (posição no instante t+ Δt – que é o tempo final) e x(t) é a posição inicial (posição no instante t - tempo inicial). A velocidade instantânea num instante t é conseguida quando diminuímos Δt a valores muito próximos de zero (diz-se que Δt tende a zero). Ou seja:A indicação lim Δt→0 quer dizer limite quando Δt tende a zero. Por exemplo, se a função que determina a posição em função do tempo é t², ou seja, x(t)=t², a velocidade instantânea num instante t será dada por:Desprezamos o termo Δt , pois esse tende a zero. Percebe-se que, embora Δt e Δx tendam a zero, a razão Δx/ Δt converge para um valor finito bem definido. De forma geral (se tratando de qualquer função), a equação (1) é a definição de derivada (é comum a utilização da notação dx(t)/dt para indicar derivada). Diz-se que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo.

Também se atribui uma interpretação geométrica para a derivada:Dessa forma, quanto mais se aproxima Δt de zero, mais os pontos cortados pela reta secante ao gráfico, cuja declividade dá a velocidade média entre os pontos considerados, se aproximam. Assim, ao se fazer Δt tender a zero, os pontos cortados ficam o mais próximos quanto desejarmos, ou seja, temos, na verdade, uma reta tangente ao gráfico. Conclui-se que a velocidade instantânea num instante t é a declividade da reta tangente ao gráfico no ponto (t, x(t)). Afinal, essa declividade é a “velocidade média” entre os dois pontos muito próximos.

Muitas vezes é complicado calcular derivadas através da definição, mas existem teoremas que facilitam o cálculo de derivadas. Alguns desses teoremas estão expostos abaixo (sem demonstrá-los – exceto um -, pois não é o objetivo do post):

a - A derivada de uma função constante é sempre nula. Ou seja, d[x(t)]/dt=0 para todo t quando x(t)=constante.

b - A derivada é um operador linear. Ou seja:
c - A derivada de uma função constante multiplicada por uma não constante é o produto entre a função constante e a derivada da função não constante. Ou seja:
Onde a é uma constante.

d - A derivada de tⁿ é dada por nt^n-1. Ou seja:Demonstração:Aplicando o teorema do binômio de Newton¹ em (t+ Δt)ⁿ:Dividindo o numerador e o denominador por Δt , se tem:Todos os membros, tirando o primeiro, possuem o fator Δt e, assim, podemos desprezá-los, pois tendem a zero. Sendo assim, temos finalmente:
Que é o que se queria demonstrar.

Embora essa demonstração valha apenas para n natural (n∈ℕ), o teorema vale também caso n seja racional (n∈ℚ - incluindo n negativo).

Exemplo:

Se x(t)=5t²+2t+5, a velocidade instantânea num instante t é dada por:
Onde foram utilizados todos os teoremas apresentados.


1 – O teorema binomial (apresentado abaixo) é referente ao desenvolvimento de (a+b)ⁿ, onde n é natural (n∈ ℕ). Desenvolver (a+b)ⁿ significa encontrar os termos que, somados, equivalham (a+b)ⁿ. Por exemplo, o desenvolvimento de (a+b)² é a²+2ab+b². Pelo teorema binomial, é possível calcular cada termo de (a+b)ⁿ, qualquer que seja n, de forma muito mais rápida que fazer a multiplicação (realizar a multiplicação (a+b).(a+b)...(a+b)).é chamado de coeficiente binomial e é uma forma resumida de escrever n!/k!(n-k)!. Ou seja:! significa fatorial e é definido como:Por exemplo, 5!=5.4.3.2.1=120. Mas, como se pode perceber, o fatorial de zero aparece muitas vezes e esse não é conseguido explicitamente através da definição dada, mas podemos tomá-lo como igual a um, pois:Como exemplo, apliquemos o teorema binomial em (a+b)³:
De forma geral, existem algumas propriedades no desenvolvimento:

O número de termos do desenvolvimento é sempre n+1;

A soma dos expoentes de a e b num termo é sempre igual a n;

Observando todos os termos em seqüência, é possível perceber que o expoente de a decresce de n até 0 enquanto o de b cresce de 0 até n;

Os coeficientes são simétricos em relação ao termo central (ou aos dois termos centrais caso o número de termos seja par).


Ivan Eugênio da Cunha

Bibliografia:

Nussenzveig, H. Moyses, Curso de Física Básica, vol. I, Ed. Edgard Blücher (2002).

Ferraro, Nicolau Gilberto e Soares, Paulo Antonio de Toledo, Física Básica, vol. único, Ed. São Paulo (2004).

Leithold, Louis, O Cálculo Com Geometria Analítica, vol. I, 2ª edição, Ed. Harper & Row do Brasil.

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Veja também:

Física Básica – conceitos e ferramentas básicas

Física Básica - conceitos e ferramentas básicas (2)

Ensino da Física no Brasil segundo Richard Feynman

Introdução

Abaixo está um texto extraído do livro “Deve ser brincadeira, Sr. Feynman!” de Richard Feynman (físico norte americano e ganhador do prêmio Nobel de Física em 1965). Ele conta sobre a experiência de Feynman no Brasil na década de 50, mas muito do que está escrito nesse texto é bem atual e reflete a situação do ensino da Física (principalmente no EM, onde existem os “macetes”). Claro, não se pode generalizar. Eu mesmo tenho bons professores de Física, mas até esses acabam tendo que passar “macetes” às vezes. Tirando as exceções, o que acontece é o que está relatado no texto: os alunos não aprendem. Decoram.

Ensino da Física no Brasil segundo Richard Feynman

Em relação à educação no Brasil, tive uma experiência muito interessante. Eu estava dando aulas para um grupo de estudantes que se tornariam professores, uma vez que àquela época não havia muitas oportunidades no Brasil para pessoal qualificado em ciências. Esses estudantes já tinham feito muitos cursos, e esse deveria ser o curso mais avançado em eletricidade e magnetismo – equações de Maxwell, e assim por diante.

Descobri um fenômeno muito estranho: eu podia fazer uma pergunta e os alunos respondiam imediatamente. Mas quando eu fizesse a pergunta de novo – o mesmo assunto e a mesma pergunta, até onde eu conseguia –, eles simplesmente não conseguiam responder! Por exemplo, uma vez eu estava falando sobre luz polarizada e dei a eles alguns filmes polaróide.

O polaróide só passa luz cujo vetor elétrico esteja em uma determinada direção; então expliquei como se pode dizer em qual direção a luz está polarizada, baseando-se em se o polaróide é escuro ou claro.

Primeiro pegamos duas filas de polaróide e giramos até que elas deixassem passar a maior parte da luz. A partir disso, podíamos dizer que as duas fitas estavam admitindo a luz polarizada na mesma direção – o que passou por um pedaço de polaróide também poderia passar pelo outro. Mas, então, perguntei como se poderia dizer a direção absoluta da polarização a partir de um único polaróide.

Eles não faziam a menor idéia.

Eu sabia que havia um pouco de ingenuidade; então dei uma pista: “Olhe a luz refletida da baía lá fora”.

Ninguém disse nada.

Então eu disse: “Vocês já ouviram falar do Ângulo de Brewster?”

– Sim, senhor! O Ângulo de Brewster é o ângulo no qual a luz refletida de um meio com um índice de refração é completamente polarizada.

– E em que direção a luz é polarizada quando é refletida?

– A luz é polarizada perpendicular ao plano de reflexão, senhor. Mesmo hoje em dia, eu tenho de pensar; eles sabiam fácil! Eles sabiam até a tangente do ângulo igual ao índice!
Eu disse: “Bem?”

Nada ainda. Eles tinham simplesmente me dito que a luz refletida de um meio com um índice, tal como a baía lá fora, era polarizada: eles tinham me dito até em qual direção ela estava polarizada.

Eu disse: “Olhem a baía lá fora, pelo polaróide. Agora virem o polaróide”.

– "Ah! Está polarizada”!, eles disseram.

Depois de muita investigação, finalmente descobri que os estudantes tinham decorado tudo, mas não sabiam o que queria dizer. Quando eles ouviram “luz que é refletida de um meio com um índice”, eles não sabiam que isso significava um material como a água. Eles não sabiam que a “direção da luz” é a direção na qual você vê alguma coisa quando está olhando, e assim por diante. Tudo estava totalmente decorado, mas nada havia sido traduzido em palavras que fizessem sentido. Assim, se eu perguntasse: “O que é o Ângulo de Brewster?”, eu estava entrando no computador com a senha correta. Mas se eu digo: “Observe a água”, nada acontece – eles não têm nada sob o comando “Observe a água”.

Depois participei de uma palestra na faculdade de engenharia. A palestra foi assim: “Dois corpos… são considerados equivalentes… se torques iguais… produzirem… aceleração igual. Dois corpos são considerados equivalentes se torques iguais produzirem aceleração igual”. Os estudantes estavam todos sentados lá fazendo anotações e, quando o professor repetia a frase, checavam para ter certeza de que haviam anotado certo. Então eles anotavam a próxima frase, e a outra, e a outra. Eu era o único que sabia que o professor estava falando sobre objetos com o mesmo momento de inércia e era difícil descobrir isso.

Eu não conseguia ver como eles aprenderiam qualquer coisa daquilo. Ele estava falando sobre momentos de inércia, mas não se discutia quão difícil é empurrar uma porta para abrir quando se coloca muito peso do lado de fora, em comparação quando você coloca perto da dobradiça – nada!

Depois da palestra, falei com um estudante: “Vocês fizeram uma porção de anotações – o que vão fazer com elas?”

– Ah, nós as estudamos, ele diz. Nós teremos uma prova.

– E como vai ser a prova?

– Muito fácil. Eu posso dizer agora uma das questões. Ele olha em seu caderno e diz: “Quando dois corpos são equivalentes?” E a resposta é: “Dois corpos são considerados equivalentes se torques iguais produzirem aceleração igual”. Então, você vê, eles podiam passar nas provas, “aprender” essa coisa toda e não saber nada, exceto o que eles tinham decorado.

Então fui a um exame de admissão para a faculdade de engenharia. Era uma prova oral e eu tinha permissão para ouvi-la. Um dos estudantes foi absolutamente fantástico: ele respondeu tudo certinho! Os examinadores perguntaram a ele o que era diamagnetismo e ele respondeu perfeitamente. Depois eles perguntaram: “Quando a luz chega a um ângulo através de uma lâmina de material com uma determinada espessura, e um certo índice N, o que acontece com a luz?

– Ela aparece paralela a si própria, senhor – deslocada.

– E em quanto ela é deslocada?

– Eu não sei, senhor, mas posso calcular. Então, ele calculou. Ele era muito bom. Mas, a essa época, eu tinha minhas suspeitas.

Depois da prova, fui até esse brilhante jovem e expliquei que eu era dos Estados Unidos e que eu queria fazer algumas perguntas a ele que não afetariam, de forma alguma, os resultados da prova. A primeira pergunta que fiz foi: “Você pode me dar algum exemplo de uma substância diamagnética?”

– Não.

Aí eu perguntei: “Se esse livro fosse feito de vidro e eu estivesse olhando através dele alguma coisa sobre a mesa, o que aconteceria com a imagem se eu inclinasse o copo?”

– Ela seria defletida, senhor, em duas vezes o ângulo que o senhor tivesse virado o livro.

Eu disse: “Você não fez confusão com um espelho, fez?”

– Não senhor!

Ele havia acabado de me dizer na prova que a luz seria deslocada, paralela a si própria e, portanto, a imagem se moveria para um lado, mas não seria alterada por ângulo algum. Ele havia até mesmo calculado em quanto ela seria deslocada, mas não percebeu que um pedaço de vidro é um material com um índice e que o cálculo dele se aplicava à minha pergunta.

Dei um curso na faculdade de engenharia sobre métodos matemáticos na física, no qual tentei demonstrar como resolver os problemas por tentativa e erro. É algo que as pessoas geralmente não aprendem; então comecei com alguns exemplos simples para ilustrar o método. Fiquei surpreso porque apenas cerca de um entre cada dez alunos fez a tarefa. Então fiz uma grande preleção sobre realmente ter de tentar e não só ficar sentado me vendo fazer.

Depois da preleção, alguns estudantes formaram uma pequena delegação e vieram até mim, dizendo que eu não havia entendido os antecedentes deles, que eles podiam estudar sem resolver os problemas, que eles já haviam aprendido aritmética e que essa coisa toda estava abaixo do nível deles.

Então continuei a aula e, independente de quão complexo ou obviamente avançado o trabalho estivesse se tornando, eles nunca punham a mão na massa. É claro que eu já havia notado o que acontecia: eles não conseguiam fazer!

Uma outra coisa que nunca consegui que eles fizessem foi perguntas. Por fim, um estudante explicou-me: “Se eu fizer uma pergunta para o senhor durante a palestra, depois todo mundo vai ficar me dizendo: “Por que você está fazendo a gente perder tempo na aula? Nós estamos tentando aprender alguma coisa, e você o está interrompendo, fazendo perguntas”.

Era como um processo de tirar vantagens, no qual ninguém sabe o que está acontecendo e colocam os outros para baixo como se eles realmente soubessem. Eles todos fingem que sabem, e se um estudante faz uma pergunta, admitindo por um momento que as coisas estão confusas, os outros adotam uma atitude de superioridade, agindo como se nada fosse confuso, dizendo àquele estudante que ele está desperdiçando o tempo dos outros.

Expliquei a utilidade de se trabalhar em grupo, para discutir as dúvidas, analisá-las, mas eles também não faziam isso porque estariam deixando cair a máscara se tivessem de perguntar alguma coisa a outra pessoa. Era uma pena! Eles, pessoas inteligentes, faziam todo o trabalho, mas adotaram essa estranha forma de pensar, essa forma esquisita de autopropagar a “educação”, que é inútil, definitivamente inútil!

Uma palestra para as autoridades brasileiras

Ao final do ano acadêmico, os estudantes pediram-me para dar uma palestra sobre minhas experiências com o ensino no Brasil. Na palestra, haveria não só estudantes, mas também professores e oficiais do governo. Assim, prometi que diria o que quisesse. Eles disseram: “É claro. Esse é um país livre”.

Aí eu entrei, levando os livros de física elementar que eles usaram no primeiro ano de faculdade. Eles achavam esses livros bastante bons porque tinham diferentes tipos de letra – negrito para as coisas mais importantes para se decorar, mais claro para as coisas menos importantes, e assim por diante.

Imediatamente, alguém disse: “Você não vai falar sobre o livro, vai? O homem que o escreveu está aqui, e todo mundo acha que esse é um bom livro”.

– Você me prometeu que eu poderia dizer o que quisesse. O auditório estava cheio. Comecei definindo ciência como um entendimento do comportamento da natureza. Então, perguntei: “Qual um bom motivo para lecionar ciência? É claro que país algum pode considerar-se civilizado a menos que… pá, pá, pá”. Eles estavam todos concordando, porque eu sei que é assim que eles pensam.

Aí eu disse: “Isso, é claro, é absurdo, porque qual o motivo pelo qual temos de nos sentir em pé de igualdade com outro país? Nós temos de fazer as coisas por um bom motivo, uma razão sensata; não apenas porque os outros países fazem”. Depois, falei sobre a utilidade da ciência e sua contribuição para a melhoria da condição humana, e toda essa coisa – eu realmente os provoquei um pouco.
Daí eu disse: “O principal propósito da minha apresentação é provar aos senhores que não se está ensinando ciência alguma no Brasil!”

Eu os vejo se agitar, pensando: “O quê? Nenhuma ciência? Isso é loucura! Nós temos todas essas aulas”.

Então eu digo que uma das primeiras coisas a me chocar quando cheguei ao Brasil foi ver garotos da escola elementar em livrarias, comprando livros de física. Havia tantas crianças aprendendo física no Brasil, começando muito mais cedo do que as crianças nos Estados Unidos, que era estranho que não houvesse muitos físicos no Brasil – por que isso acontece? Há tantas crianças dando duro e não há resultado.

Então eu fiz a analogia com um erudito grego que ama a língua grega, que sabe que em seu país não há muitas crianças estudando grego. Mas ele vem a outro país, onde fica feliz em ver todo mundo estudando grego – mesmo as menores crianças nas escolas elementares. Ele vai ao exame de um estudante que está se formando em grego e pergunta a ele: “Quais as idéias de Sócrates sobre a relação entre a Verdade e a Beleza?” – e o estudante não consegue responder. Então ele pergunta ao estudante: “O que Sócrates disse a Platão no Terceiro Simpósio?” O estudante fica feliz e prossegue: “Disse isso, aquilo, aquilo outro” – ele conta tudo o que Sócrates disse, palavra por palavra, em um grego muito bom.

Mas, no Terceiro Simpósio, Sócrates estava falando exatamente sobre a relação entre a Verdade e a Beleza!

O que esse erudito grego descobre é que os estudantes em outro país aprendem grego aprendendo primeiro a pronunciar as letras, depois as palavras e então as sentenças e os parágrafos. Eles podem recitar, palavra por palavra, o que Sócrates disse, sem perceber que aquelas palavras gregas realmente significam algo. Para o estudante, elas não passam de sons artificiais. Ninguém jamais as traduziu em palavras que os estudantes possam entender.

Eu disse: “É assim que me parece quando vejo os senhores ensinarem ‘ciência’ para as crianças aqui no Brasil” (Uma pancada, certo?)

Então eu ergui o livro de física elementar que eles estavam usando. “Não são mencionados resultados experimentais em lugar algum desse livro, exceto em um lugar onde há uma bola, descendo um plano inclinado, onde ele diz a distância que a bola percorreu em um segundo, dois segundos, três segundos, e assim por diante. Os números têm Erros – ou seja, se você olhar, você pensa que está vendo resultados experimentais, porque os números estão um pouco acima ou um pouco abaixo dos valores teóricos. O livro fala até sobre ter de corrigir os erros experimentais – muito bem. No entanto, uma bola descendo em um plano inclinado, se realmente for feito isso, tem uma inércia para entrar em rotação e, se você fizer a experiência, produzirá cinco sétimos da resposta correta, por causa da energia extra necessária para a rotação da bola. Dessa forma, o único exemplo de ‘resultados’ experimentais é obtido de uma experiência falsa. Ninguém jogou tal bola, ou jamais teriam obtido tais resultados!”

“Descobri mais uma coisa”, eu continuei. “Ao folhear o livro aleatoriamente e ler uma sentença de uma página, posso mostrar qual é o problema – como não há ciência, mas memorização, em todos os casos. Então, tenho coragem o bastante para folhear as páginas agora em frente a este público, colocar meu dedo em uma página, ler e provar para os senhores.”

Eu fiz isso. Brrrrrrrup – coloquei meu dedo e comecei a ler: “Triboluminescência. Triboluminescência é a luz emitida quando os cristais são friccionados…”

Eu disse: “E aí, você teve alguma ciência? Não! Apenas disseram o que uma palavra significa em termos de outras palavras. Não foi dito nada sobre a natureza – quais cristais produzem luz quando você os fricciona, por que eles produzem luz? Alguém viu algum estudante ir para casa e experimentar isso? Ele não pode”.

“Mas, se em vez disso, estivesse escrito: ‘Quando você pega um torrão de açúcar e o fricciona com um par de alicates no escuro, pode-se ver um clarão azulado. Alguns outros cristais também fazem isso. Ninguém sabe o motivo. O fenômeno é chamado triboluminescência’. Aí alguém vai para casa e tenta. Nesse caso, há uma experiência da natureza.” Usei aquele exemplo para mostrar a eles, mas não faria qualquer diferença onde eu pusesse meu dedo no livro; era assim em quase toda parte.

Por fim, eu disse que não conseguia entender como alguém podia ser educado neste sistema de autopropagação, no qual as pessoas passam nas provas e ensinam os outros a passar nas provas, mas ninguém sabe nada. “No entanto”, eu disse, “devo estar errado. Há dois estudantes na minha sala que se deram muito bem, e um dos físicos que eu sei que teve sua educação toda no Brasil. Assim, deve ser possível para algumas pessoas achar seu caminho no sistema, ruim como ele é.”

Bem, depois de eu dar minha palestra, o chefe do departamento de educação em ciências levantou e disse: “O Sr. Feynman nos falou algumas coisas que são difíceis de se ouvir, mas parece que ele realmente ama a ciência e foi sincero em suas críticas. Assim sendo, acho que devemos prestar atenção a ele. Eu vim aqui sabendo que temos algumas fraquezas em nosso sistema de educação; o que aprendi é que temos um câncer!” – e sentou-se.

Isso deu liberdade a outras pessoas para falar, e houve uma grande agitação. Todo mundo estava se levantando e fazendo sugestões. Os estudantes reuniram um comitê para mimeografar as palestras, antecipadamente, e organizaram outros comitês para fazer isso e aquilo.

Então aconteceu algo que eu não esperava de forma alguma. Um dos estudantes levantou-se e disse: “Eu sou um dos dois estudantes aos quais o Sr. Feynman se referiu ao fim de seu discurso. Eu não estudei no Brasil; eu estudei na Alemanha e acabo de chegar ao Brasil”.

O outro estudante que havia se saído bem em sala de aula tinha algo semelhante a dizer. O Professor que eu havia mencionado levantouse e disse: “Estudei aqui no Brasil durante a guerra quando, felizmente, todos os professores haviam abandonado a universidade: então aprendi tudo lendo sozinho. Dessa forma, na verdade, não estudei no sistema brasileiro”.

Eu não esperava aquilo. Eu sabia que o sistema era ruim, mas 100 por cento – era terrível!

Uma vez que eu havia ido ao Brasil por um programa patrocinado pelo Governo dos Estados Unidos, o Departamento de Estado pediu me que escrevesse um relatório sobre minhas experiências no Brasil, e escrevi os principais pontos do discurso que eu havia acabado de fazer. Mais tarde descobri, por vias secretas, que a reação de alguém no Departamento de Estado foi: “Isso prova como é perigoso mandar alguém tão ingênuo para o Brasil. Pobre rapaz; ele só pode causar problemas. Ele não entendeu os problemas”. Bem pelo contrário! Acho que essa pessoa no Departamento de Estado era ingênua em pensar que, porque viu uma universidade com uma lista de cursos e descrições, era assim que era.


Bibliografia:

Deve ser brincadeira, Sr. Feynman! – Richard P. Feynman.