Relatividade Restrita (RR)
Postulados da relatividade restrita:
A relatividade restrita possui dois postulados simples:
Primeiro postulado: As leis da física são iguais para todos os referenciais inerciais.
Segundo postulado: A velocidade da luz é a mesma para qualquer referencial inercial.
O primeiro postulado é fácil de entender e até mesmo intuitivo, mas o segundo é completamente contra intuitivo e difícil de aceitar. Não é de se esperar que uma pessoa aceite de imediato o segundo postulado já que ele vai contra nossa noção intuitiva de soma de velocidades. Esse postulado que leva a diferenciação entre a Relatividade Restrita e a Mecânica Newtoniana. O problema da constância da velocidade da luz era tratado usando uma substância hipotética chamada de eter, por onde a luz se propagaria. Mas Einstein mostrou ser desnecessária tal substância para explicar o comportamento da luz.
O fator k de Doppler:
Esse fator é o que caracteriza a relação entre observadores em movimento relativo retilíneo e uniforme.
Imagine três referenciais, A,B,A’.
Considere A estando em repouso em relação a A’. B se afasta de A a uma velocidade v e se aproxima de A’ a uma mesma velocidade. A emite pulsos de luz para B separados por um intervalo de tempo hA, medido por A. Toda vez que B recebe um pulso de A, ele emite um pulso de luz na direção de A’, que recebe os pulsos de luz de A e de B.
Defini-se o fator k como:
Observe a ilustração:
O intervalo em que B recebe os pulsos de A é de hB=khA. Como toda vez que B recebe um pulso ele lança outro, o intervalo de tempo entre os pulsos emitidos por B também é hB=khA. A’ vai receber tanto o pulso de A como o de B juntos já que, quando o pulso de A chega em B, esse lança um pulso e os dois viajam juntos até A’ e o intervalo de recepção é hA porque A’ está em repouso em relação a A.
Vemos então que:
Agora vamos nos aprofundar na aplicação deste fator k. Imagine uma nave e uma estação espacial. A nave será o referencial B e a estação o referencial A. Quando a nave passa pela estação, o piloto e uma pessoa dentro da estação zeram seus relógios e mandam, um ao outro, pulsos de luz (vamos admitir que a recepção dos pulsos foi instantânea para os dois).
Agora, a nave está se afastando na mesma velocidade em que se aproximava e, depois de um tempo, a estação manda um segundo pulso de luz para B, refletindo em B no momento Tb (pelo relógio de B). Vamos chamar a reflexão de evento X e após ele o pulso retorna a A.
Pela definição de k, o instante em que A manda o pulso é Tb/k (veja que, sendo Tb o intervalo em que B recebe o pulso, o intervalo de envio deverá ser o apresentado, pois k=Tb/hA [veja a definição de k]) e volta para A no instante kTb (ambos os eventos medidos pelo relógio de A). Sabendo isso, A pode calcular o tempo e a posição do evento X já que o pulso se propagou a uma velocidade c (c=velocidade da luz [300000km/s]) e, assim, pode-se saber em que momento ocorreu o evento X para A. Para saber basta calcular o tempo médio entre o momento em que é lançado o pulso e o momento em que ele retorna ao local de origem:
Também podemos calcular a distância, já que a velocidade da luz é constante. A distância em que ocorre o evento X é a metade da distancia total percorrida pelo pulso de luz, de forma que, Lembrando que d=v.∆t,:
Como foi na nave, onde está o observador B, que o evento X ocorreu, para o observador A o pulso de luz percorreu a distância d no tempo Ta. Admitindo que B está a uma velocidade constante e sabendo a distância percorrida durante o intervalo de tempo Ta, pode-se saber a velocidade de B em relação ao observador A:
Caso seja conhecida a velocidade relativa, pode-se ter o fator k em termos dessa velocidade:
PS: Este é o fator caso os observadores estejam se afastando um do outro (como é o caso exemplificado). Caso estejam se aproximando, o fator é dado por:
Dilatação do tempo:
Percebemos que o observador A e B vêem o evento X em momentos diferentes. Enquanto o observador B atribui ao evento X o tempo Tb, o observador A atribui ao mesmo evento o tempo Ta, como já dito:
Usando a expressão já encontrada para o fator k (a expressão encontrada no último cálculo da parte “O fator k de Doppler”) para a velocidade relativa v, temos:
*Clique na imagem para melhor visualização.Bastando multiplicar ambos os lados por Tb, encontra-se:
Onde γ é chamado de fator de Lorentz.
Vemos que, para o observador A, enquanto o tempo que ele marca é o Ta ele vê o observador B marcando Tb (percebendo que Ta>Tb)
O mesmo resultado pode ser conseguido de forma menos rigorosa (e mais fácil de entender):
Imagine uma estação de trem. Nesta estação está uma pessoa que vamos chamar de observador A. Um trem passa a uma velocidade próxima a da luz com uma pessoa dentro que chamaremos de observador B. Ao passar pela estação, um dispositivo no chão do trem lança um pulso de luz que reflete em um espelho no teto e volta para o local de origem. Veja a ilustração:
*Clique na figura para melhor visualização.
No lado esquerdo está o trajeto do pulso de luz visto por A e no lado direito está o trajeto do pulso de luz visto por B. Veja que o trajeto observado por A é maior que o trajeto observado por B. Ou seja, (lembrando que a velocidade da luz não varia) para o observador A o tempo que o pulso leva para ir até o espelho e voltar é maior que o tempo em que o observador B leva para observar o mesmo evento no referencial em que está. Da mesma maneira que A vê o pulso ir até o espelho e voltar em um tempo maior que B, A também vê o relógio de B mais lento (afinal, se, por exemplo, B vê esse evento em 1 segundo e A em 2, então, para A, a cada 2 segundos o relógio de B só passa 1). Devemos lembrar que, se o experimento tivesse sido feito em repouso em relação a A, seria B quem veria o caminho da luz mais longo. Tanto A como B vêem o relógio um do outro mais lento que os seus próprios relógios.
Note que todas as distâncias foram colocadas em termos de v.∆t já que ∆S=v.∆t. Sendo que ∆t é o tempo medido pelo observador B e ∆t’ é o tempo medido pelo observador A. Dessa forma, podemos deduzir a equação da dilatação do tempo, afinal, as distâncias c. ∆t’, c. ∆t e v. ∆t’ estão postas como os lados de um triangulo retângulo. Assim, pelo teorema de Pitágoras,
Que é o mesmo resultado conseguido anteriormente.
Contração do espaço:
A contração do espaço é conseqüência da dilatação do tempo. Imagine a mesmo cenário do experimento anterior, mas o que os observadores medirão agora será o tamanho da plataforma. Quando o vagão do observador B passa pela plataforma, B mede o intervalo de tempo em que isso ocorre e A também mede o tempo em que o vagão passa pela plataforma. Veja a ilustração:
Onde L e L' são, respectivamente, os comprimentos medidos por A e B.
As velocidades medidas devem ser as mesmas. Ou seja, L/∆t’=L’/∆t onde ∆t’ é o intervalo de tempo marcado pelo observador A e ∆t o intervalo de tempo marcado pelo observador B. Pela dilatação do tempo, ∆t’=∆tγ (veja Dilatação do tempo acima). Dessa forma:
Como (v/c)² é positivo ou nulo, 1≥1/γ. Isso implica que, se v≠0, o comprimento observado por B é menor que o observado por A. Vendo de uma outra forma, perceba que o tempo marcado por B é menor que o marcado por A. Para as razões entre comprimentos e tempos (velocidades) serem iguais, o comprimento observado por B também deve ser menor.
PS: perceba, que tanto na dilatação do tempo quanto na contração do espaço, se a velocidade é desprezível (muito baixa) em relação a c (velocidade da luz), a diferença fica mínima. Por isso que, nesses casos, continuamos usando a física newtoniana.
Soma de velocidades:
Imagine a seguinte situação:
O observador B esta em um trem com uma velocidade relativa v em relação ao observador A, que está em uma estação. B lança uma bola para frente com velocidade u’ (velocidade medida por B). Qual será a velocidade da bola medida por A (Lembrando que, para A, a velocidade de B é v)?
Vamos chamar a velocidade da bola medida por A de u. Também vamos considerar que a velocidade relativa v é próxima a da luz e a velocidade da bola ,medida por B, também é próxima a da luz.
Analisando a questão com a transformação de Galileu u=u’+v (formula de adição de velocidades na mecânica clássica), vamos acabar chegando a uma velocidade superior a da luz (afinal u’ e v são velocidades próximas a da luz e a adição delas, feita com a formula posta, resulta claramente em uma velocidade superior a da luz).
Mas na relatividade não podemos fazer a adição das velocidades dessa maneira. O fato da velocidade da luz ser constante trás conseqüências, também, nesse caso.
A bola se afasta do observador B e esse se afasta de A. Se A envia pulsos para B com intervalos hA entre os envios, já foi visto, pela definição de k, que B recebe os pulsos com intervalos hB=khA. Mas vamos supor, ainda, que B envie pulsos para a bola. A bola receberá os pulsos de A e B juntos, mas, como a bola se afasta de B, o intervalo das recepções, notado como hC, será hC=k’hB. Como, hB=khA, hC=k’khA=KhA, ou seja, o fator K entre A e a bola é a simples multiplicação dos fatores k entre A e B e B e a bola (tal tipo de combinação continuaria valida caso existissem mais fatores k a considerar). Dessa forma, usando resultados anteriores:
u’->velocidade da bola medida por B.
v->velocidade relativa entre A e B.
c->velocidade da luz.
u->velocidade da bola medida por A.
Veja que, para qualquer v e u’ menores que c, u vai ser menor que c. Ou seja, nunca um observador vai ver o outro a uma velocidade superior a da luz.
Perceba também que se v e u’ são valores muito baixos em relação a c, o valor da soma das velocidades feita pela transformação de Lorentz fica muito próxima da encontrada por u=u’+v (já que o termo u'v/c² se torna muito pequeno). Então, nestes casos, continuamos usando a transformação de Galileu.
Outra conclusão interessante que podemos tirar desta equação é:
A dedução mostra que se u’=c, u=c. Ou seja, se um objeto se move a velocidade da luz para B, também se move na velocidade da luz para A. Concluímos então que a velocidade da luz é constante para ambos e, no geral, para qualquer referencial inercial, concordando com o segundo postulado.
Paradoxo dos gêmeos:
Depois de analisar a dilatação do tempo e a contração do espaço e levar em consideração que os efeitos relativísticos são válidos para todos (se A vê B a uma velocidade v, B está vendo A nesta mesma velocidade v, ou seja, A vê o relógio de B mais lento e o comprimento do mesmo, na direção do movimento, menor e B vê o relógio de A mais lento e o comprimento do mesmo, na direção do movimento, menor igualmente), chega a pergunta “Quem está realmente com o tempo atrasado?”.
Imagine dois gêmeos idênticos. Um vai viajar em uma nave em uma velocidade próxima a da luz e voltar depois de um tempo. Durante a viagem o irmão que está na nave vê o tempo na Terra mais lento da mesma forma que o irmão que está na Terra vê o tempo do irmão na nave mais lento. O erro na pergunta que foi feita no final do parágrafo anterior está em estabelecer a existência de um tempo absoluto. Na relatividade não existe um tempo absoluto. Não podemos afirmar qual está com o tempo mais lento sem, antes, estabelecer em que referencial se está fazendo a comparação.
Mas ainda existe uma quebra na simetria por causa das mudanças de referencial inercial. Enquanto o irmão que está na Terra permaneceu no mesmo referencial inercial (a Terra), o irmão na nave saiu do referencial inercial Terra (primeira mudança de referencial) foi para outro referencial inercial (segunda mudança), muda o sentido do movimento (terceira mudança) e retorna a Terra. Essas mudanças estão ligadas a aceleração que o irmão na nave sofreu. Neste ponto o problema deixa de ser da relatividade restrita (não é um referencial inercial) e passa a ser um problema da relatividade geral, que tem as ferramentas necessárias para resolver problemas com referenciais não inerciais. Sem maiores explicações (dentro da relatividade restrita) o irmão que viajou, ao voltar, vê que envelheceu menos que o irmão que ficou na terra.
Ivan Eugênio da Cunha.
Bibliografia:
www.if.ufrgs.br/~betz/space_time/index.html
http://plato.if.usp.br/~fma0374d/aula4/node2.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_dos_gêmeos
http://mega.ist.utl.pt/~pocm/r_relativity/index.html
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Veja também:
Massa, Energia e Momentum (RR)
Postagens
