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14 novembro, 2008

Física Básica – conceitos e ferramentas básicas (2)

Sistemas de coordenadas

Para determinar posições no espaço, é necessário um sistema de coordenadas. Em um plano, são necessárias duas coordenadas para determinar a posição de um ponto. Nesse caso, pode-se usar um sistema de coordenadas cartesianas, que é definido com uma origem O e dois eixos ortogonais (perpendiculares) entre si, onde é possível determinar a posição de um ponto P através das coordenadas x (abscissa) e y (ordenada). Ou seja, P é dado por P(x,y) ou, simplesmente, (x,y).

Os eixos ordenados desse sistema de coordenadas dividem o plano em quatro quadrantes. O primeiro (I) está delimitado pelas partes positivas dos eixos x e y (cima e direita). Já o segundo (II) está delimitado pela parte positiva de y e a parte negativa de x (cima e esquerda). O terceiro (III) está delimitado pelas partes negativas de x e y (baixo esquerda). E o quarto (IV) está delimitado pela parte negativa do eixo y e pela parte positiva do eixo x (baixo e direita). Esse sistema de coordenadas é útil em uma grande variedade de problemas.
Também pode-se determinar a posição de um ponto P em um plano através de coordenadas polares. Nesse sistema de coordenadas, tem-se a posição através da distância do ponto à origem (r) e o ângulo (θ) formado entre OP e Ox, sendo Ox a direção e sentido tomados como referência. Ou seja, P é dado por P(r,θ) ou, simplesmente, (r,θ). Mas deve-se ter cuidado com a coordenada θ, pois esse ângulo é sempre contado a partir do eixo Ox e no sentido anti-horário. Ao ser tomado o sentido horário, θ terá um valor negativo. Por exemplo, pode-se ter 30° ou -30°. A diferença está no fato de que o ponto P, no caso de 30°, estará acima do eixo Ox enquando no caso de ser -30°, o ponto P' estará abaixo do eixo Ox. Perceba que -30° é equivalente a 330° e que, se transportássemos para o sistema cartesiano de coordenadas, P estaria no quadrante I enquanto P' estaria no quadrante IV. Em alguns casos, problemas difíceis de serem descritos em coordenadas cartesianas podem ser mais facilmente descritos em coordenadas polares.

É possível fazer a transferência entre os dois sistemas de coordenadas apresentados. De coordenadas polares para cartesianas, usam-se relações de um triangulo retângulo para chegar a:

De coordenadas cartesianas para polares, usa-se o teorema de Pitágoras:
Propriedades gráficas

Muitas vezes informações podem estar contidas em gráficos, que são curvas que relacionam duas ou mais variáveis. A relação entre essas variáveis pode ser expressa em forma de função, mas, às vezes, a informação desejada pode ser conseguida usando as propriedades geométricas do gráfico.

  • Função de primeiro grau

Algumas relações na Física podem ser expressas através de uma função de primeiro grau. O gráfico de uma função desse tipo é dado por uma reta com inclinação em relação aos eixos ordenados e, para um intervalo ∆x e um intervalo ∆y, correspondente, é sempre válido que:
Onde m é uma constante chamada de declividade da reta. Essa, muitas vezes, é a quantidade procurada. Veja que essa quantidade pode ser conseguida diretamente do gráfico, pois ela é, na verdade, a medida da tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x. Mas não é necessário saber o ângulo, já que, em um triângulo retângulo, a tangente pode ser conseguida através da razão entre o cateto oposto e o adjacente. No caso, o cateto adjacente é ∆x e o cateto oposto é ∆y fazendo com que tgθ=∆y/∆x.
Sabendo que:
Que é a função de primeiro grau. Também pode-se dizer que essa é a equação da reta e, nesse caso, de forma geral, a pode ser chamado de coeficiente angular (por estar relacionado com a inclinação da reta em relação aos eixos ordenados) e b de coeficiente linear (por estar relacionado com o ponto em que o gráfico corta o eixo y).

  • Área de um gráfico

Em muitos casos, o valor de uma grandeza é dado pela área do gráfico, se a é dado em função de b, pode existir uma grandeza c onde o valor de c é, numericamente, igual à área do gráfico a contra b.

Vetores

Na Física, as grandezas podem ser vetoriais ou escalares (dependendo das propriedades). As grandezas vetoriais necessitam de direção (horizontal, vertical...) e sentido (esquerda, direita, cima...), além de um valor numérico para a magnitude e a unidade da grandeza, para serem completamente definidas, enquanto as escalares não dependem de direção nem de sentido. Ou seja, as grandezas escalares ficam definidas apenas com um valor numérico e a unidade que o acompanha (5 kg.m²/s², por exemplo).

Como um vetor depende de direção e sentido, são necessários esses dados para determinar ele. Por exemplo, não basta dizer que se está a 5 m/s, é preciso dizer a direção (horizontal, por exemplo) e o sentido (direita, por exemplo). Ou seja, a velocidade é um vetor. Veja também que a direção e o sentido diferenciam um vetor de outro. Assim, para um vetor ser igual a outro, não basta terem magnitudes iguais. É preciso que tenham, também, mesma direção e sentido. Da mesma forma, um vetor é o oposto de outro se, e somente se, possuir mesma magnitude e direção, mas sentido contrário.

  • Representação

A representação geométrica de um vetor é uma seta (indicando a direção e sentido) cujo “comprimento” nos dá a magnitude da grandeza.

A ponta com a flecha é chamada de “extremidade” e a sem de “origem”. O vetor pode ser notado por ou r (é conveniente a utilização do negrito para diferenciar de um escalar).


Pode-se representar um vetor também em um plano cartesiano. Nesse caso, O vetor pode possuir como notação V(x,y) ou, simplesmente, (x,y).

  • Produto de um vetor por um número real

Um vetor pode ser dado pela multiplicação de um outro vetor por um número real (ou escalar). Ao se fazer a multiplicação, a magnitude do vetor fica multiplicada pelo número. Ou seja, R=a.r, onde a é um número real.

Existe diferença entre multiplicar um vetor por um número real positivo, negativo ou nulo (zero). Ao se multiplicar por um número real positivo, a direção e o sentido ficam inalterados, mas, ao se multiplicar por um escalar negativo, o sentido do vetor inverte. O produto por um escalar nulo (zero) faz do vetor um vetor nulo.

  • Soma vetorial

Dentre as operações possíveis de se fazer com vetores, está a soma entre os mesmos. Essa consiste em encontrar um vetor resultante (vetor resultado da soma) que equivalha aos vetores somados. A soma vetorial pode ser feita por meios geométricos “puros” ou através de ferramentas fornecidas pela trigonometria (veremos que a segunda maneira é mais conveniente). Geometricamente, tendo os vetores r e r’, a soma desses vetores (r+r’) pode ser feita colocando a extremidade do vetor r na origem de r’ e traçando um vetor com extremidade coincidente com a de r’ e origem coincidente com a de r.

Outra maneira de se somar é através da “regra do paralelogramo” onde se coloca a origem de um vetor junto à do outro e se cria um paralelogramo, sendo os dois vetores dois lados da figura. O vetor resultante é a diagonal do paralelogramo, sendo que a origem coincide com a dos vetores que o geraram.

A soma vetorial possui as seguintes propriedades:

Propriedade comutativa:
Propriedade associativa:Existe um vetor nulo tal que:Existe um vetor –r tal que:A diferença (subtração) de dois vetores é dada por:
Essas propriedades são semelhantes às da soma e subtração aritmética, mas não são tão visíveis assim ao serem representadas graficamente.
Como já dito, não é muito viável fazer a soma de vetores por “pura” geometria. Assim, se usa a trigonometria para se encontrar o vetor resultante. Uma forma de se somar vetores dessa maneira é usando o teorema dos co-senos. Se for conhecido o ângulo entre dois vetores (r e s, por exemplo) e as magnitudes desses, o módulo¹ do resultante (R) será dado por:

Perceba que, no caso particular onde θ=90°, cosθ=0, o que faz o teorema dos co-senos se tornar igual ao teorema de Pitágoras.
  1. O módulo de um vetor (indicado pelas barras: | |) é o valor numérico (magnitude) do mesmo. Esse valor é sempre positivo e, assim, não dá informação de direção e sentido.

O caso particular em que os vetores possuem uma mesma direção também é importante. Nesse caso, os vetores podem possuir ângulos 0° ou 180° entre si. Assim, no caso de soma e subtração, respectivamente:


Onde foi utilizado o fato de que a²+b²+2ab=(a+b)² e a²+b²-2ab=(a-b)², pois são produtos notáveis.

Essas propriedades coincidem, na prática, com as da adição e subtração aritméticas. De forma geral, basta acrescentar um sinal negativo ao módulo de um vetor que tenha sentido contrário ao convencionado como sentido positivo e realizar a operação (soma ou subtração).

Outra maneira de se realizar a soma é decompondo os vetores nos eixos ordenados do plano cartesiano. Decompor um vetor, no plano, consiste em encontrar dois vetores, cada um com mesma direção de um eixo ordenado (esses vetores são chamados de componentes), tais que, somados, tenham como resultante o vetor inicialmente considerado. O procedimento para somar consiste em encontrar as componentes (também chamadas de projeções) de cada vetor considerado, encontrar uma resultante em cada eixo (afinal, na prática, a soma vetorial coincide com a soma aritmética quando se têm vetores em uma mesma direção) e realizar a soma vetorial dessas resultantes.

Para se decompor o vetor, é preciso conhecer o ângulo formado entre o vetor e um dos eixos. Com isso, se usa as relações de um triangulo retângulo. Sendo o vetor inicialmente considerado a hipotenusa, os catetos (as componentes) serão dados por |r|cosθ e |r|senθ. Se o ângulo θ é formado entre o eixo x e o vetor, |r|cosθ=rx (componente no eixo x) e |r|senθ=ry (componente no eixo y).


O caminho inverso pode ser feito sem conhecimento do ângulo. Isso é possível com o teorema de Pitágoras.

Também pode-se encontrar o ângulo formado entre o vetor resultante (r) e um dos eixos (tomemos o ângulo entre o eixo x e o vetor).
Como dito, pode-se somar dois ou mais vetores através das componentes usando o processo já descrito.

Isso justifica o fato de um vetor poder ser notado por V(x,y) (ou somente (x,y)) quando se tem um plano cartesiano. Os valores de x e y são as componentes do vetor. Como a soma é feita somando componentes de um mesmo eixo, a soma entre dois vetores quaisquer, (a,b) e (c,d), pode ser dada por (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

É importante notar que se a projeção do vetor possui sentido contrário ao do eixo ordenado considerado o valor dessa componente será negativo.
  • Vetor unitário
Já foi visto que um vetor pode ser multiplicado por um número real. Como um vetor pode ser dado por essa multiplicação, é possível fazer com que todo o valor numérico esteja “fora” do vetor e as características vetoriais da grandeza estejam expressas em um vetor de “comprimento” 1 – chamado de vetor unitário.

É interessante, inicialmente, que sejam apresentadas algumas outras propriedades da multiplicação de um vetor por um número real. No caso da decomposição de vetores, se, por exemplo, se multiplica um vetor r por dois, suas componentes também são multiplicadas por dois. Assim, de forma geral, a(x,y)=(ax,ay), onde a é um número real e (x,y) é o vetor. Também é válido que a(r+r’)=ar+ar’ e (a+b)r=ar+br.

O vetor unitário possui “comprimento” (magnitude) 1. Assim, sua definição é:

Os vetores unitários que possuem mesma direção e sentido que os eixos ordenados são representados de forma especial. No caso do plano cartesiano, i e j são, respectivamente, os vetores unitários nos eixos x e y. Como já foi visto, um vetor pode ser representado através da soma vetorial de suas componentes. Com os vetores unitários, podemos representar um vetor como sendo r=ai+bj, onde a e b são as magnitudes das componentes nos eixos x e y, respectivamente, e a soma desse vetor com um outro, r’=ci+dj, é dada por r+r’=(a+c)i+(b+d)j.

Ivan Eugênio da Cunha

Bibliografia:

Nussenzveig, H. Moyses, Curso de Física Básica, vol. I, Ed. Edgard Blücher (2002).

Ferraro, Nicolau Gilberto e Soares, Paulo Antonio de Toledo, Física Básica, vol. único, Ed. São Paulo (2004).

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Veja também:

Física Básica – conceitos e ferramentas básicas

Física Básica - Cinemática no movimento unidimensional (parte 1)

6 comentários:

Anônimo disse...

Excelente conteúdo.

você é físico?

Ivan disse...

Anônimo

Ainda não sou físico, mas pretendo ser.

Profª Cristiana Passinato disse...

Gostaria de exibir o selo de vcs no meu blog, como parceira, é que tem mta gente procurando por blogs sérios de Física pela rede, pode ser?

http://pesquisasdequimica.vai.la ou http://crispassinato.wordpress.com

Um abraço,

Profª Cristiana Passinato

Ivan disse...

Pode exibir. Vou colocar o seu blog como relacionado.

Unknown disse...

Pq a soma de vetores é feita dessa forma??? Pq é feita pelo método do paralelogramo?

Ivan disse...

Unknown, observe que é dessa forma que se soma deslocamentos para obter o deslocamento total em relação ao ponto de partida, cujo módulo nos dará a distância entre o ponto de partida e o final.

Acontece que existe uma "classe" de quantidades na física que se somam da mesma forma e usamos vetores para descrever essas quantidades. Ou seja, usamos vetores que se somam dessa forma porque é o que se adequa às propriedades das quantidades que queremos descrever.

Uma forma interessante de definir vetor no plano é como sendo a quantidade de duas componentes (x e y) tal que x^2+y^2 seja invariante por rotações. Ou seja, cujo módulo não varia ao rodarmos o vetor em torno de sua origem. Mas tal definição nos serve melhor num contexto mais avançado.